On the Jäger–Kaul theorem concerning harmonic maps

Abstract

In 1983, Jäger and Kaul proved that the equator map $u^{\ast }\left(x\right)=\left(\frac{x}{|x|},0\right):B^n\to S^n$ is unstable for $3\le n\le 6$ and a minimizer for the energy functional $E(u,Bn)={\int }_{B^n}{\left|\nabla u\right|}^{2}dx$ in the class $H^{1,2}(B^n,S^n)$ with $u=u^{\ast }$ on $\partial B^n$ when $n\ge 7$. In this paper, we give a new and elementary proof of this Jäger–Kaul result. We also generalize the Jäger–Kaul result to the case of $p$-harmonic maps.

Résumé

En 1983, Jäger et Kaul ont demontrés que l’application équateurielle $u^{\ast }\left(x\right)=\left(\frac{x}{|x|},0\right):B^n\to S^n$ n’est pas stable si $3\le n\le 6$ et que c’est une minimisateur pour la fonctionelle d’energie $E(u,B^n)={\int }_{B^n}{\left|\nabla u\right|}^{2}dx$ dans la classe $H^{1,2}(B^n,S^n)$ avec $u=u^{\ast }$ sur $\partial B^n$ si $n\ge 7$. Nous donnons une preuve nouvelle, élémentaire de ce résultat de Jäger–Kaul. En plus nous généralisons le résultat de Jäger–Kaul au cas des applications $p$-harmoniques.