Multiple boundary peak solutions for some singularly perturbed Neumann problems

Abstract

We consider the problem

where $\Omega$ is a bounded smooth domain in $R^N$, $\varepsilon >0$ is a small parameter and $f$ is a superlinear, subcritical nonlinearity. It is known that this equation possesses boundary spike solutions such that the spike concentrates, as $\epsilon$ approaches zero, at a critical point of the mean curvature function $H(P)$, $P\in \partial \Omega$. It is also known that this equation has multiple boundary spike solutions at multiple nondegenerate critical points of $H(P)$ or multiple local maximum points of $H(P)$.

In this paper, we prove that for any fixed positive integer $K$ there exist boundary $K$-peak solutions at a local minimum point of $H(P)$. This implies that for any smooth and bounded domain there always exist boundary $K$-peak solutions.

We first use the Liapunov–Schmidt method to reduce the problem to finite dimensions. Then we use a maximizing procedure to obtain multiple boundary spikes.

Résumé

Nous considerons le problème

où Ω est une domaine bornée avec frontiére lisse en $R^N$, $\varepsilon >0$ est un parametre petit, et $f$ est surlinéaire et souscritique. Il est bien connu que cette équation possede des solutions avec pointe sur la frontiére telle que la pointe se concentre (quand $\epsilon$ tend vers zero) à une pointe critique de la courbure moyenne $H(P)\in \partial \Omega$. Il est aussi connu que cette équation possede pleusieurs solutions avec pointes qui se concentrent sur pleusieurs points critiques nondégénerés de $H(P)$, ou sur pleusieurs maxima locaux de $H(P)$.

Dans ce papier, nous prouvons que, pour chaque entier positif $K$ donné, il existe solutions avec $K$ pointes l̀a frontiére, situées sur un minimum relatif de $H(P)$. Ceci implique que pour chaque domaine qui est lisse et bornée il existe toujours des solutions avec $K$ pointes à la frontiére.

Nous utilisons la methode de Liapunov–Schmidt pour reduire le problème dans une espace de dimension finie. Ensuite, nous utilisons une procédé de maximization pour obtenir les pointes sur la frontiére.