A hierarchy of hydrodynamic models for plasmas. Zero-electron-mass limits in the drift-diffusion equations

Abstract

A model hierarchy of hydrodynamic and quasi-hydrodynamic equations for plasmas consisting of electrons and ions is presented. The various model equations are obtained from the transient Euler–Poisson system for electrons and ions in the zero-electron-mass limit and/or in the zero-relaxation-time limit. A rigorous proof of the zero-electron-mass limit in the quasi-hydrodynamic equations is given. This model consists of two parabolic equations for the electrons and ions and the Poisson equation for the electric potential, subject to initial and mixed boundary conditions. The remaining asymptotic limits will be proved in forthcoming publications.

Furthermore, the existence of solutions to the limit problem which can be of degenerate type is proved without the assumptions needed for the zero-electron-mass limit (essentially, positivity of the particle densities). Finally, the uniqueness of solutions to the limit problem is studied.

Résumé

Une hiérarchie d’équations hydrodynamiques et quasi-hydrodynamiques pour les plasmas constitués d’électrons et ions est présentée. Les équations des modèles résultent du système Euler–Poisson non stationnaire pour les électrons et ions par une limite de masse d’électron (“zero-electron-mass-limit”) et/ou par une limite de relaxation (“zero-relaxation-time-limit”). Une démonstration rigoureuse de la limite de masse d’électron dans les équations quasi-hydrodynamiques est donnée. Ce modèle consiste en deux équations paraboliques pour les densités des électrons et ions et l’équation de Poisson pour le potentiel électrique, completées par des conditions aux limites mêlées. Les autres limites asymptotiques seront démontrées dans des publications à venir.

En outre, on montre l’existence de solutions du problème limite qui peut être du type “dégénéré”, sans les hypothèses utilisées pour la limite de masse d’électron (essentiellement, positivité des densités des particules). Finalement, l’unicité de solutions du problème limite est étudiée.