Multiple positive solutions for a critical quasilinear equation via Morse theory

Abstract

We deal with the existence of solutions for the quasilinear problem

where $\Omega$ is a bounded domain in ${\mathbb{R}}^N$ with smooth boundary, $N⩾p^2$, $1<p⩽q<p^{\ast }$, $p^{\ast }=Np/(N-p)$, $\lambda >0$ is a parameter. Using Morse techniques in a Banach setting, we prove that there exists ${\lambda }^{\ast }>0$ such that, for any $\lambda \in (0,{\lambda }^{\ast })$, $(P_{\lambda })$ has at least ${\mathcal{P}}_1(\Omega )$ solutions, possibly counted with their multiplicities, where ${\mathcal{P}}_t(\Omega )$ is the Poincaré polynomial of $\Omega$. Moreover for $p⩾2$ we prove that, for each $\lambda \in (0,{\lambda }^{\ast })$, there exists a sequence of quasilinear problems, approximating $(P_{\lambda })$, each of them having at least ${\mathcal{P}}_1(\Omega )$ distinct positive solutions.

Résumé

On s'interesse à l'existence de solutions pour l'équation quasi-linéaire

où $\Omega$ est un domaine de ${\mathbb{R}}^N$ avec frontière régulière, $N⩾p^2$, $1<p⩽q<p^{\ast }$, $p^{\ast }=Np/(N-p)$, $\lambda >0$ est un paramètre. Par des techniques de la théorie de Morse dans le cadre des espaces de Banach, un démontre l'existence de ${\lambda }^{\ast }>0$ tel que, pour tout $\lambda \in (0,{\lambda }^{\ast })$, $(P_{\lambda })$ possède au moins ${\mathcal{P}}_1(\Omega )$ solutions, considerées avec leur multiplicité, où ${\mathcal{P}}_1(\Omega )$ est le polynôme de Poincaré de $\Omega$. En outre, pour $p⩾2$, on démontre que, pour tout $\lambda \in (0,{\lambda }^{\ast })$, il existe une suite de problèmes quasi-linéaires qui approchent $(P_{\lambda })$, chacun desquels a au moins ${\mathcal{P}}_1(\Omega )$ solutions positives différentes.