Existence and uniqueness for a nonlinear parabolic/Hamilton–Jacobi coupled system describing the dynamics of dislocation densities

Abstract

We study a mathematical model describing the dynamics of dislocation densities in crystals. This model is expressed as a 1D system of a parabolic equation and a first order Hamilton–Jacobi equation that are coupled together. We examine an associated Dirichlet boundary value problem. We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution among those assuming a lower-bound on their gradient for all time including the initial time. Moreover, we show the existence of a viscosity solution when we have no such restriction on the initial data. We also state a result of existence and uniqueness of entropy solution for the initial value problem of the system obtained by spatial derivation. The uniqueness of this entropy solution holds in the class of bounded-from-below solutions. In order to prove our results on the bounded domain, we use an “extension and restriction” method, and we exploit a relation between scalar conservation laws and Hamilton–Jacobi equations, mainly to get our gradient estimates.

Résumé

Nous étudions un modèle mathématique décrivant la dynamique de densités de dislocations dans les cristaux. Ce modèle s'écrit comme un système 1D couplant une équation parabolique et une équation de Hamilton–Jacobi du premier ordre. Nous examinons un problème de Dirichlet associé. On montre l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité dans la classe des fonctions ayant un gradient minoré pour tout temps ainsi qu'au temps initial. De plus, on montre l'existence d'une solution de viscosité sans cette condition sur la donnée initiale. On présente également un résultat d'existence et d'unicité d'une solution entropique pour le problème d'évolution obtenu par dérivation spatiale. L'unicité de cette solution entropique a lieu dans la classe des solutions minorées. Pour montrer nos résultats sur le domaine borné, on utilise une méthode de « prolongement et restriction », et on profite essentiellement d'une relation entre les lois de conservation scalaire et les équations de Hamilton–Jacobi, pour obtenir des contrôles du gradient.