Minimizers of Dirichlet functionals on the $n$-torus and the weak KAM theory

Abstract

Given a probability measure $\mu$ on the $n$-torus ${\mathbb{T}}^n$ and a rotation vector $\mathbf{P}\in {\mathbb{R}}^n$, we ask whether there exists a minimizer to the integral ${\int }_{{\mathbb{T}}^n}|\nabla \varphi +\mathbf{P}{|}^{2}d\mu$. This problem leads, naturally, to a class of elliptic PDE and to an optimal transportation (Monge–Kantorovich) class of problems on the torus. It is also related to higher dimensional Aubry–Mather theory, dealing with invariant sets of periodic Lagrangians, and is known as the “weak-KAM theory”.

Résumé

Etant donnés une mesure $\mu$ sur le tore $n$-dimensionnel ${\mathbb{T}}^n$ et un vecteur de rotation $\mathbf{P}\in {\mathbb{R}}^n$, on étudie la question de l'existence d'un minimiseur pour l'intégrale ${\int }_{{\mathbb{T}}^n}|\nabla \varphi +\mathbf{P}{|}^{2}d\mu$. Ce problème conduit naturellement à une classe d'équations aux dérivées partielles elliptiques et à une classe de problèmes de transport optimal (Monge–Kantorovich) sur le tore. Il est aussi lié à la théorie d'Aubry–Mather en dimension supérieure, qui traite les ensembles invariants pour des Lagrangiens périodiques, connue sous le nom de théorie KAM faible.