Multiple critical points of perturbed symmetric strongly indefinite functionals

Denis Bonheure; Miguel Ramos

doi:10.1016/j.anihpc.2008.06.002

JournalsaihpcVol. 26, No. 2pp. 675–688

Multiple critical points of perturbed symmetric strongly indefinite functionals

Denis Bonheure
Université catholique de Louvain, Institut de Mathématique Pure et Appliquée, Chemin du Cyclotron, 2, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium
Miguel Ramos
University of Lisbon, CMAF – Faculty of Science, Av. Prof. Gama Pinto 2, 1649-003 Lisboa, Portugal

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Abstract

We prove that the elliptic system

- Δ u = ∣ v ∣^{q - 2} v + k (x), x \in Ω,

- Δ v = ∣ u ∣^{p - 2} u + h (x), x \in Ω,

where Ω is a regular bounded domain of $R^{N}$ , $N ⩾ 3$ and $h, k \in L^{2} (Ω)$ , admits an unbounded sequence of solutions $(u_{k}, v_{k}) \in H_{0}^{1} (Ω) \times H_{0}^{1} (Ω)$ , provided $2 < p ⩽ q$ and $\frac{N}{2} (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q}) < \frac{p - 1}{p}$ . We also prove a generic multiplicity result for exponents in the open region bounded by the lines $p = 2$ , $q = 2$ and the critical hyperbola.

A correction to this paper is available.

Résumé

Nous démontrons que le système elliptique ((1), (2)) où Ω est un domaine régulier de $R^{N}$ , $N ⩾ 3$ et h, $k \in L^{2} (Ω)$ , possède une suite non bornée de solutions $(u_{k}, v_{k}) \in H_{0}^{1} (Ω) \times H_{0}^{1} (Ω)$ , pour autant que $2 < p ⩽ q$ et $\frac{N}{2} (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q}) < \frac{p - 1}{p}$ . Nous démontrons également un résultat générique de mulplicité lorsque les exposants se situent dans l'ouvert délimité par les droites $p = 2$ , $q = 2$ et l'hyperbole critique.

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Cite this article

Denis Bonheure, Miguel Ramos, Multiple critical points of perturbed symmetric strongly indefinite functionals. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 2, pp. 675–688

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2008.06.002