JournalsaihpcVol. 10, No. 3pp. 255–288

Small solutions to nonlinear Schrödinger equations

  • Carlos E. Kenig

    Department of Mathematics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, USA
  • Gustavo Ponce

    Department of Mathematics, University of California, Santa Barbara, CA 93106, USA
  • Luis Vega

    Facultad de Ciencias, Universidad Autonoma de Madrid Cantoblanco, Madrid 28049, Spain
Small solutions to nonlinear Schrödinger equations cover
Download PDF

Abstract

It is shown that the initial value problem for the nonlinear Schrödinger equations

∂_{t}u = i\mathrm{\Delta }u + \mathrm{P}(u,\:\nabla _{x}u,\:u\limits^{¯},\:\nabla _{x}u\limits^{¯}),\:\:t \in ℝ,\:x \in ℝ^{n},

where Ρ (.) is a polynomial having no constant or linear terms, is locally well posed for a class of “small” data u0.

The main ingredients in the proof are new estimates describing the smoothing effect of Kato type for the group {eitΔ}\left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\}_{−∞}^{∞}. This method extends to systems and other dispersive models.

Résumé

On montre que le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire

∂_{t}u = i\mathrm{\Delta }u + \mathrm{P}(u,\nabla _{x}u,u\limits^{¯},\nabla _{x}u\limits^{¯}),\:\:\:\:\:\:\:\:t \in ℝ,\:\:\:\:\:x \in ℝ^{n},

où P (.) est un polynôme sans termes constants ou linéaires, est bien posé pour une classe de « petites » données u0.

Les ingrédients principaux de la démonstration sont des nouvelles estimations qui décrivent l’effet régularisant de type de Kato pour le groupe {eitΔ}\left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\}. La méthode admet des extensions aux systèmes et aux autres modèles dispersifs.

Cite this article

Carlos E. Kenig, Gustavo Ponce, Luis Vega, Small solutions to nonlinear Schrödinger equations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 10 (1993), no. 3, pp. 255–288

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30213-X