Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding

Abstract

In this article we study symmetry properties of the extremals for the Sobolev trace embedding $H^1(B(0,\mu ))\hookrightarrow L^q(\partial B(0,\mu ))$ with $1⩽q⩽2(N-1)/(N-2)$ for different values of $\mu$. These extremals $u$ are solutions of the problem

We find that, for $1⩽q<2(N-1)/(N-2)$, there exists a unique normalized extremal $u$, which is positive and has to be radial, for $\mu$ small enough. For the critical case, $q=2(N-1)/(N-2)$, as a consequence of the symmetry properties for small balls, we conclude the existence of radial extremals. Finally, for $1<q⩽2$, we show that a radial extremal exists for every ball.

Résumé

Dans cet article nous étudions des propriétés de symétrie des extrémales de l’immersion de Sobolev $H^1(B(0,\mu ))\hookrightarrow L^q(\partial B(0,\mu ))$, où $1⩽q⩽2(N-1)/(N-2)$ en fonction du rayon $\mu$. Ces extrémales sont solutions du problème

Nous trouvons que, pour $1⩽q<2(N-1)/(N-2)$, il existe une extrémale normalisée unique $u$, qui est positive et radiale, pour $\mu$ suffisamment petite. Dans le cas critique $q=2(N-1)/(N-2)$, comme conséquence des propriétés de symétrie pour des petits rayons, nous déduisons l’existence d’extrémales. Finalement, pour $1<q⩽2$, nous montrons qu’une extrémale radiale existe pour toute boule.