JournalsaihpcVol. 21, No. 6pp. 795–805

Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding

  • Julian Fernández Bonder

    Departamento de Matemática, FCEyN UBA (1428) Buenos Aires, Argentina
  • Enrique Lami Dozo

    CONICET-Univ. de Buenos Aires and Univ. Libre de Bruxelles, Argentina
  • Julio D. Rossi

    Departamento de Matemática, FCEyN UBA (1428) Buenos Aires, Argentina
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Abstract

In this article we study symmetry properties of the extremals for the Sobolev trace embedding H1(B(0,μ))↪Lq(∂B(0,μ)) with 1⩽q⩽2(N−1)/(N−2) for different values of μ. These extremals u are solutions of the problem

\left\{\begin{matrix} \Delta u = & inB(0,\mu ), \\ \frac{\partial u}{\partial \eta } = \lambda \left|u\left|^{q - 2_{u}}\right. & on\partial B(0,\mu ). \\ \end{matrix}\right.

We find that, for 1⩽q<2(N−1)/(N−2), there exists a unique normalized extremal u, which is positive and has to be radial, for μ small enough. For the critical case, q=2(N−1)/(N−2), as a consequence of the symmetry properties for small balls, we conclude the existence of radial extremals. Finally, for 1<q⩽2, we show that a radial extremal exists for every ball.

Résumé

Dans cet article nous étudions des propriétés de symétrie des extrémales de l’immersion de Sobolev H1(B(0,μ))↪Lq(∂B(0,μ)), où 1⩽q⩽2(N−1)/(N−2) en fonction du rayon μ. Ces extrémales sont solutions du problème

\left\{\begin{matrix} \Delta u = u & dansB(0,\mu ), \\ \frac{\partial u}{\partial \eta } = \lambda \left|u\left|^{q - 2_{u}}\right. & sur\partial B(0,\mu ). \\ \end{matrix}\right.

Nous trouvons que, pour 1⩽q<2(N−1)/(N−2), il existe une extrémale normalisée unique u, qui est positive et radiale, pour μ suffisamment petite. Dans le cas critique q=2(N−1)/(N−2), comme conséquence des propriétés de symétrie pour des petits rayons, nous déduisons l’existence d’extrémales. Finalement, pour 1<q⩽2, nous montrons qu’une extrémale radiale existe pour toute boule.

Cite this article

Julian Fernández Bonder, Enrique Lami Dozo, Julio D. Rossi, Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 21 (2004), no. 6, pp. 795–805

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2003.09.005