Characterization and representation of the lower semicontinuous envelope of the elastica functional

Abstract

We characterize the lower semicontinuous envelope $\overline{\mathcal{F}}$ of the functional $\mathcal{F}(E):={\int }_{\partial E}[1+|{\kappa }_{\partial E}{|}^p]d{\mathcal{H}}^1$, defined on boundaries of sets $E\subset R^2$, where ${\kappa }_{\partial E}$ denotes the curvature of $\partial E$ and $p>1$. Through a desingularization procedure, we find the domain of $\overline{\mathcal{F}}$ and its expression, by means of different representation formulas.

Résumé

On caractérise l’enveloppe semi-continue inférieure $\overline{\mathcal{F}}$ de la fonctionnelle $\mathcal{F}(E):={\int }_{\partial E}[1+|{\kappa }_{\partial E}{|}^p]d{\mathcal{H}}^1$, définie sur la classe des frontières des domaines $E\subset R^2$, où ${\kappa }_{\partial E}$ dénote la courbure de $\partial E$ et $p>1$. Grâce à une méthode de désingularisation, on trouve le domaine de $\overline{\mathcal{F}}$ et son expression, à l’aide de différentes formules de représentation.