Nonlinear monotone semigroups and viscosity solutions

Abstract

In a celebrated paper motivated by applications to image analysis, L. Alvarez, F. Guichard, P.-L. Lions and J.-M. Morel showed that any monotone semigroup defined on the space of bounded uniformly continuous functions, which satisfies suitable regularity and locality assumptions is in fact a semigroup associated to a fully nonlinear, possibly degenerate, second-order parabolic partial differential equation. In this paper, we extend this result by weakening the assumptions required on the semigroup to obtain such a result and also by treating the case where the semigroup is defined on a general space of continuous functions like, for example, a space of continuous functions with a prescribed growth at infinity. These extensions rely on a completely different proof using in a more central way the monotonicity of the semigroup and viscosity solutions methods. Then we study the consequences on the partial differential equation of various additional assumptions on the semigroup. Finally we briefly present the adaptation of our proof to the case of two-parameters families.

Résumé

Dans un célèbre article motivé par les applications au traitement d’image, L. Alvarez, F. Guichard, P.-L. Lions and J.-M. Morel ont montré qu’un semi-groupe monotone défini sur l’espace des fonctions bornées uniformément continues satisfaisant des hypothèses de régularité et de localité est en fait un semi-groupe associé à une équation aux dérivées partielles parabolique non linéaire éventuellement dégénérée. Dans le présent article, nous étendons ce résultat en affaiblissant légèrement les hypothèses nécessaires et en traitant le cas de semi-groupes définis sur des espaces généraux de fonctions continues. Ces extension résultent d’une preuve totalement différente utilisant de manière plus centrale la monotonie du semi-groupe et des méthodes de solutions de viscosité. Nous étudions ensuite les conséquences d’hypothèses supplémentaires sur le semi-groupe. Finallement, nous présentons brièvement l’adaptation au cas d’une famille d’opérateurs à deux paramètres.