Enhancement of the traveling front speeds in reaction-diffusion equations with advection

Abstract

We establish rigorous lower bounds on the speed of traveling fronts and on the bulk burning rate in reaction-diffusion equation with passive advection. The non-linearity is assumed to be of either KPP or ignition type. We consider two main classes of flows. Percolating flows, which are characterized by the presence of long tubes of streamlines mixing hot and cold material, lead to strong speed-up of burning which is linear in the amplitude of the flow, $U$. On the other hand the cellular flows, which have closed streamlines, are shown to produce weaker increase in reaction. For such flows we get a lower bound which grows as $U^{1/5}$ for a large amplitude of the flow.

Résumé

Nous établissons rigoureusement une estimation inférieure de la vitesse de propagation de fronts et du taux global de combustion pour des équations de réaction-diffusion avec convection donnée. La non-linéarité est de type KPP ou de type “ignition”. Nous considérons deux principales classes d’écoulements. Les écoulements de percolation, caractérisés par la présence de longs tubes de lignes de courant mélangeant des régions chaudes et froides, entraı̂nent une accélération importante du taux de combustion, linéaire en fonction de l’intensité $U$ de l’écoulement. D’autre part, les écoulements circulaires, avec lignes de champs fermées, conduisent à une augmentation plus faible du taux de réaction. Pour de tels écoulements, nous obtenons une estimation inférieure qui croı̂t comme $U^{1/5}$ pour des écoulements de grande amplitude.