Geometric approach to Goursat flags

Abstract

A Goursat flag is a chain $D_s\subset D_{s-1}\subset \cdots \subset D_1\subset D_0=TM$ of subbundles of the tangent bundle $TM$ such that $\text{corank}{D}_i=i$ and $D_{i-1}$ is generated by the vector fields in $D_i$ and their Lie brackets. Engel, Goursat, and Cartan studied these flags and established a normal form for them, valid at generic points of $M$. Recently Kumpera, Ruiz and Mormul discovered that Goursat flags can have singularities, and that the number of these grows exponentially with the corank $s$. Our Theorem 1 says that every corank $s$ Goursat germ, including those yet to be discovered, can be found within the $s$-fold Cartan prolongation of the tangent bundle of a surface. Theorem 2 says that every Goursat singularity is structurally stable, or irremovable, under Goursat perturbations. Theorem 3 establishes the global structural stability of Goursat flags, subject to perturbations which fix a certain canonical foliation. It relies on a generalization of Gray’s theorem for deformations of contact structures. Our results are based on a geometric approach, beginning with the construction of an integrable subflag to a Goursat flag, and the sandwich lemma which describes inclusions between the two flags. We show that the problem of local classification of Goursat flags reduces to the problem of counting the fixed points of the circle with respect to certain groups of projective transformations. This yields new general classification results and explains previous classification results in geometric terms. In the last appendix we obtain a corollary to Theorem 1. The problems of locally classifying the distribution which models a truck pulling $s$ trailers and classifying arbitrary Goursat distribution germs of corank $s+1$ are the same.

Résumé

Un drapeau de Goursat est une chaine $D_s\subset D_{s-1}\subset \cdots \subset D_1\subset D_0=TM$ des sous-fibres de l’espace tangent $TM$ avec $i=\text{corang}{D}_i$ et tels que les champs de vecteurs de $D_i$ et leurs crochets de Lie engendrent $D_{i-1}$. Engel, Goursat, et Cartan ont étudié ces drapeaux et ont établi une forme normale pour elles aux points génériques de $M$. Récemment, Kumpera, Ruiz et Mormul ont découvert que les drapeaux de Goursat peuvent avoir des singularités, et que leur nombre grandit exponentiellement avec le corang $s$. Notre théorème 1 dit qu’on trouve chaque Goursat germe de corang $s$ dedans le $s$-fois prolongation de Cartan de l’espace tangent d’une surface. Cela inclut les germes inconnus. Le théorème 2 dit que chaque singularité de Goursat est stable. Le théorème 3 établit la stabilité globale des drapeaux de Goursat au-dessous les perturbations que ne change pas une certaine feuillatage canonique. Cela dépend d’une généralisation du théorème de Gray qui concerne les perturbation des structures de contact. La fondation de nos résultats est une approche géométrique qui commence avec la construction d’un drapeau des distributions intégrable qui est le sous-drapeau du drapeau de Goursat. Le lemma ‘sandwich’ nons explique les inclusions entre ces deux drapeaux. Nous réduisons la classification des drapeaux de Goursat au problème de la classification des points fixés pour certains groupes de transformation projective du cercle. Cela donne des résultats généraux et nouveaux de classification et explique les précédents résultats d’une manière géométrique. Dans le dernier appendice nous montrons que ce problème de classification est le même problème que de comprendre toutes les singularités de distribution qui modèlent un camion qui tire $s$ remorques.