Lower semicontinuity of L∞ functionals

Abstract

We study the lower semicontinuity properties and existence of a minimizer of the functional

on $W^{1,\infty }(\Omega ;R^m)$. We introduce the notions of Morrey quasiconvexity, polyquasiconvexity, and rank-one quasiconvexity, all stemming from the notion of quasiconvexity (= convex level sets) of $f$ in the last variable. We also formally derive the Aronsson–Euler equation for such problems.

Résumé

On examine les propriétés de semi-continuité inférieure et l’existence du minimizeur de la fonctionnelle

sur $W^{1,\infty }(\Omega ;R^m)$. On introduit les idées du quasi-convexité de Morrey, du polyquasi-convexité, et du quasi-convexité du rang-un, qui suivent tous de l’idée de quasi-convexité ( = les ensembles à niveau convexes) de $f$ à la dernière variable. En plus, on en déduit dans les formes l’équation d’Aronsson–Euler pour de tels problèmes.