Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller–Segel system

Abstract

This paper is concerned with the parabolic Keller–Segel system

in a domain $\Omega$ of ${\mathbb{R}}^N$ with $N⩾1$, where $m,\Gamma >0$, $\lambda ⩾0$ are constants and $T>0$. When $\Omega \ne {\mathbb{R}}^N$, we impose the Neumann boundary conditions on the boundary. Under suitable assumptions, we prove the local nondegeneracy of blow-up points. This seems new even for the classical Keller–Segel system ($m=1$). Lower global blow-up estimates are also obtained. In the singular case $0<m<1$, as a prerequisite, local existence and regularity properties are established.

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Résumé

Dans cet article, nous étudions le système parabolique de Keller–Segel

avec $\Omega$ un domaine de ${\mathbb{R}}^N$, $N⩾1$, où $m,\Gamma >0$, $\lambda ⩾0$ sont des constantes et $T>0$. Lorsque $\Omega \ne {\mathbb{R}}^N$, les conditions aux limites de Neumann sont prescrites sur le bord. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons la non-dégénérescence locale des points d'explosion. Ce résultat semble nouveau même dans le cas du système de Keller–Segel classique ($m=1$). Des estimations inférieures globales de la vitesse d'explosion sont également obtenues. Dans le cas singulier $0<m<1$, nous établissons les propriétés nécessaires d'existence locale et de régularité.

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