JournalsaihpcVol. 31, No. 4pp. 851–875

Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller–Segel system

  • Philippe Souplet

    Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité, LAGA, CNRS (UMR 7539), 93430 Villetaneuse, France
  • Noriko Mizoguchi

    Department of Mathematics, Tokyo Gakugei University, Koganei, Tokyo 184-8501, Japan, Precursory Research for Embryonic Science and Technology (PRESTO), Japan Science and Technology Agency (JST), Japan
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Abstract

This paper is concerned with the parabolic Keller–Segel system

{ut=(uumv)in Ω×(0,T),Γvt=Δvλv+uin Ω×(0,T),\left\{\begin{matrix} u_{t} = \mathrm{∇} \cdot \left(\mathrm{∇}u−u^{m}\mathrm{∇}v\right) & \text{in }\Omega \times (0,T), \\ \Gamma v_{t} = \mathrm{\Delta }v−\lambda v + u & \text{in }\Omega \times (0,T), \\ \end{matrix}\right.

in a domain Ω of RN\mathbb{R}^{N} with N1N⩾1, where m,Γ>0m,\Gamma > 0, λ0\lambda ⩾0 are constants and T>0T > 0. When ΩRN\Omega \neq \mathbb{R}^{N}, we impose the Neumann boundary conditions on the boundary. Under suitable assumptions, we prove the local nondegeneracy of blow-up points. This seems new even for the classical Keller–Segel system (m=1m = 1). Lower global blow-up estimates are also obtained. In the singular case 0<m<10 < m < 1, as a prerequisite, local existence and regularity properties are established.

Résumé

Dans cet article, nous étudions le système parabolique de Keller–Segel

{ut=(uumv)dans Ω×(0,T),Γvt=Δvλv+udans Ω×(0,T),\left\{\begin{matrix} u_{t} = \mathrm{∇} \cdot \left(\mathrm{∇}u−u^{m}\mathrm{∇}v\right) & \text{dans }\Omega \times (0,T), \\ \Gamma v_{t} = \mathrm{\Delta }v−\lambda v + u & \text{dans }\Omega \times (0,T), \\ \end{matrix}\right.

avec Ω un domaine de RN\mathbb{R}^{N}, N1N⩾1,m,Γ>0m,\Gamma > 0, λ0\lambda ⩾0 sont des constantes et T>0T > 0. Lorsque ΩRN\Omega \neq \mathbb{R}^{N}, les conditions aux limites de Neumann sont prescrites sur le bord. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons la non-dégénérescence locale des points d'explosion. Ce résultat semble nouveau même dans le cas du système de Keller–Segel classique (m=1m = 1). Des estimations inférieures globales de la vitesse d'explosion sont également obtenues. Dans le cas singulier 0<m<10 < m < 1, nous établissons les propriétés nécessaires d'existence locale et de régularité.

Cite this article

Philippe Souplet, Noriko Mizoguchi, Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller–Segel system. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 31 (2014), no. 4, pp. 851–875

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2013.07.007