A nonlinear scattering problem
Jack Narayan
Department of Mathematics, State University College of New York at Oswego, New York 13126Gilbert Stengle
Department of Mathematics, Lehigh University, Bethlehem, Pennsylvania 18015

Abstract
We consider neutral nearly diagonal n-dimensional systems of the form ε2y′ = ixΛ(x)y + g(x, ε, y). We study the propagation of solutions from x = − ∞ to x = + ∞ past the complete degeneracy of the linearized problem at x = 0. Under several conditions on Λ and g we show that for small c in Ȼn there exists a global solution having the form near x = − ∞ and near x = + ∞. Here S(ε, c) ∈ Ȼn is the scattering function. Our main result is an asymptotic formula for S(ε, c). We show that if g(0, 0, y) = 0 and g = Σgjk(x, ε)yjyk + 0(|y|3) then
To establish this formula we use the Kolmogorov-Arnold-Moser method and the Moser-Jacobowitz approximation method to obtain a priori estimates for solutions. These a priori estimates provide a rigorous justification for our calculation of explicit asymptotic formulas by a technique of matched asymptotic expansions.
Résumé
Nous considérons des systèmes différentiels neutres à n dimensions presque diagonaux de la forme ε2y′ = ixΛ(x)y + g(x, ε, y). Nous étudions la propagation des solutions depuis x = − ∞ jusqu’à x = + ∞ à travers la dégénérescence complète du problème linéarisé à l’origine. Moyennant diverses conditions sur Λ et g nous montrons que, pour c assez petit dans Ȼn, il existe une solution globale de la forme au voisinage de x = − ∞, et au voisinage de x = + ∞. Ici S(ε, c) est la fonction de scattering.
Notre résultat principal est une formule asymptotique pour S(ε, c).
Pour l’établir, nous utilisons la méthode de Kolmogorov-Arnold-Moser et la formule d’approximation de Moser-Jacobowitz pour obtenir des estimations a priori, qui nous permettent de justifier rigoureusement le calcul des formules asymptotiques par une technique de comparaison.
Cite this article
Jack Narayan, Gilbert Stengle, A nonlinear scattering problem. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 3 (1986), no. 1, pp. 1–53
DOI 10.1016/S0294-1449(16)30390-0