Abstract

We consider neutral nearly diagonal n-dimensional systems of the form ε2y′ = ixΛ(x)y + g(x, ε, y). We study the propagation of solutions from x = − ∞ to x = + ∞ past the complete degeneracy of the linearized problem at x = 0. Under several conditions on Λ and g we show that for small c in Ȼn there exists a global solution having the form $y=\left\{\exp \frac{i}{{\epsilon }^2}{\int }_0^{x}s\mathrm{\Lambda }(s)ds\right\}c$ near x = − ∞ and $y=\left\{\exp \frac{i}{{\epsilon }^2}{\int }_0^{x}s\mathrm{\Lambda }(s)ds\right\}\mathrm{S}(\epsilon ,c)$ near x = + ∞. Here S(ε, c) ∈ Ȼn is the scattering function. Our main result is an asymptotic formula for S(ε, c). We show that if g(0, 0, y) = 0 and g = Σgjk(x, ε)yjyk + 0(|y|3) then

To establish this formula we use the Kolmogorov-Arnold-Moser method and the Moser-Jacobowitz approximation method to obtain a priori estimates for solutions. These a priori estimates provide a rigorous justification for our calculation of explicit asymptotic formulas by a technique of matched asymptotic expansions.

Résumé

Nous considérons des systèmes différentiels neutres à n dimensions presque diagonaux de la forme ε2y′ = ixΛ(x)y + g(x, ε, y). Nous étudions la propagation des solutions depuis x = − ∞ jusqu’à x = + ∞ à travers la dégénérescence complète du problème linéarisé à l’origine. Moyennant diverses conditions sur Λ et g nous montrons que, pour c assez petit dans Ȼn, il existe une solution globale de la forme $y=\left\{\exp \frac{i}{{\epsilon }^2}{\int }_0^{x}s\mathrm{\Lambda }(s)ds\right\}c$ au voisinage de x = − ∞, et $y=\left\{\exp \frac{i}{{\epsilon }^2}{\int }_0^{x}s\mathrm{\Lambda }(s)ds\right\}\mathrm{S}(\epsilon ,c)$ au voisinage de x = + ∞. Ici S(ε, c) est la fonction de scattering.

Notre résultat principal est une formule asymptotique pour S(ε, c).

Pour l’établir, nous utilisons la méthode de Kolmogorov-Arnold-Moser et la formule d’approximation de Moser-Jacobowitz pour obtenir des estimations a priori, qui nous permettent de justifier rigoureusement le calcul des formules asymptotiques par une technique de comparaison.