A nonlinear scattering problem

Abstract

We consider neutral nearly diagonal $n$-dimensional systems of the form ${\epsilon }^2{y}^{\prime }=ix\Lambda (x)y+g(x,\epsilon ,y)$. We study the propagation of solutions from $x=-\infty$ to $x=+\infty$ past the complete degeneracy of the linearized problem at $x=0$. Under several conditions on $\Lambda$ and $g$ we show that for small $c$ in ${\mathbb{C}}^n$ there exists a global solution having the form

Here $S(\epsilon ,c)\in {\mathbb{C}}^n$ is the scattering function. Our main result is an asymptotic formula for $S(\epsilon ,c)$. We show that if $g(0,0,y)=0$ and $g=\Sigma g_{jk}(x,\epsilon )y_j{y}_k+0(|y{|}^3)$ then

To establish this formula we use the Kolmogorov–Arnold–Moser method and the Moser–Jacobowitz approximation method to obtain a priori estimates for solutions. These a priori estimates provide a rigorous justification for our calculation of explicit asymptotic formulas by a technique of matched asymptotic expansions.

Résumé

Nous considérons des systèmes différentiels neutres à $n$ dimensions presque diagonaux de la forme ${\epsilon }^2{y}^{\prime }=ix\Lambda (x)y+g(x,\epsilon ,y)$. Nous étudions la propagation des solutions depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=+\infty$ à travers la dégénérescence complète du problème linéarisé à l’origine. Moyennant diverses conditions sur $\Lambda$ et $g$ nous montrons que, pour $c$ assez petit dans ${\mathbb{C}}^n$, il existe une solution globale de la forme

Ici $S(\epsilon ,c)$ est la fonction de scattering.

Notre résultat principal est une formule asymptotique pour $S(\epsilon ,c)$.

Pour l’établir, nous utilisons la méthode de Kolmogorov–Arnold–Moser et la formule d’approximation de Moser–Jacobowitz pour obtenir des estimations a priori, qui nous permettent de justifier rigoureusement le calcul des formules asymptotiques par une technique de comparaison.