Boundary layer formation in the transition from the Porous Media Equation to a Hele–Shaw flow

  • O. Gil

    Instituto de Matemática y Estadı́stica “Prof. Ing. Rafael Laguardia”, Facultad de Ingenierı́a, Universidad de la República Oriental del Uruguay, Casilla de Correo 30, Montevideo, Uruguay
  • F. Quirós

    Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain

Abstract

Let be the solution to the Porous Media Equation, , in a domain , with initial data and boundary data . Let . We prove the convergence as goes to infinity of the pair to a pair which is a weak solution of the Hele–Shaw problem with boundary data and initial data , where is the projection of the initial data into a ‘mesa’. We also prove the convergence of the positivity sets of the functions to the positivity set of . For large but finite a boundary layer connecting the initial data  and its projection  appears. We analyze the convergence of solutions and positivity sets in this boundary layer by introducing a suitable time scale. All our results hold true also for the Cauchy problem (, no boundary data).

Résumé

Soit la solution de l’équation des milieux poreux , dans un domaine , avec donnée initiale et fixée sur la frontière de . Soit . Nous montrons la convergence, lorsque l’exposant va à l’infini, de la paire vers , qui est l’unique solution faible du problème de Hele–Shaw avec donnée au bord de , et donnée initiale , étant la projection de sur une ‘mesa’. Nous prouvons aussi la convergence des ensembles de positivité des functions vers celui de . Pour grand, mais fini, une couche limite apparaı̂t, faisant la connexion entre la donnée initiale et sa projection . Nous étudions la convergence des solutions et des ensembles de positivité dans cette couche limite, introduisant une échelle de temps convenable. Les résultats de ce papier contiennent également le cas du problème de Cauchy pour l’équation des milieux poreux (, aucune donnée n’est fixée sur la frontière de ).

Cite this article

O. Gil, F. Quirós, Boundary layer formation in the transition from the Porous Media Equation to a Hele–Shaw flow. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 20 (2003), no. 1, pp. 13–36

DOI 10.1016/S0294-1449(02)00016-1