Boundary layer formation in the transition from the Porous Media Equation to a Hele–Shaw flow

Abstract

Let $u_m(x,t)$ be the solution to the Porous Media Equation, $u_t=\Delta u^m$, in a domain $\Omega \subset R^n$, with initial data $u_m(x,0)=f(x)$ and boundary data $u_m^m(x,t)=g(x)$. Let $v_m\equiv u_m^m$. We prove the convergence as $m$ goes to infinity of the pair $(u_m,v_m)$ to a pair $(u_{\infty },v_{\infty })$ which is a weak solution of the Hele–Shaw problem with boundary data $v_{\infty }=g$ and initial data $u_{\infty }(x,0)=\tilde{f}(x)$, where $\tilde{f}$ is the projection of the initial data $f(x)$ into a ‘mesa’. We also prove the convergence of the positivity sets of the functions $u_m$ to the positivity set of $u_{\infty }$. For large but finite $m$ a boundary layer connecting the initial data $f(x)$ and its projection $\tilde{f}(x)$ appears. We analyze the convergence of solutions and positivity sets in this boundary layer by introducing a suitable time scale. All our results hold true also for the Cauchy problem ($\Omega =R^n$, no boundary data).

Résumé

Soit $u_m(x,t)$ la solution de l’équation des milieux poreux $u_t=\Delta u^m$, dans un domaine $\Omega \subset R^n$, avec donnée initiale $u_m(x,0)=f(x)$ et $u_m^m(x,t)=g(x)$ fixée sur la frontière de $\Omega$. Soit $v_m\equiv u_m^m$. Nous montrons la convergence, lorsque l’exposant $m$ va à l’infini, de la paire $(u_m,v_m)$ vers $(u_{\infty },v_{\infty })$, qui est l’unique solution faible du problème de Hele–Shaw avec donnée $v_{\infty }=g$ au bord de $\Omega$, et donnée initiale $u_{\infty }(x,0)=\tilde{f}(x)$, $\tilde{f}(x)$ étant la projection de $f(x)$ sur une ‘mesa’. Nous prouvons aussi la convergence des ensembles de positivité des functions $u_m$ vers celui de $u_{\infty }$. Pour $m$ grand, mais fini, une couche limite apparaı̂t, faisant la connexion entre la donnée initiale $f(x)$ et sa projection $\tilde{f}(x)$. Nous étudions la convergence des solutions et des ensembles de positivité dans cette couche limite, introduisant une échelle de temps convenable. Les résultats de ce papier contiennent également le cas du problème de Cauchy pour l’équation des milieux poreux ($\Omega =R^n$, aucune donnée n’est fixée sur la frontière de $\Omega$).