Multi-bump ground states of the Gierer–Meinhardt system in ℝ2

Abstract

We consider the stationary Gierer–Meinhardt system in $R^2$:

We construct multi-bump ground-state solutions for this system for all sufficiently small $\sigma$. The centers of these bumps are located at the vertices of a regular polygon, while the bumps resemble, after a suitable scaling in their $A$-coordinate, the unique radially symmetric solution of

A similar construction is made for vertices of two concentric polygons and a general procedure for detection of organized finite patterns is suggested.

Résumé

On considère le système stationnaire de Gierer–Meinhardt dans

On construit des solutions fondamentales multi-pics pour ce système, pour tout $\sigma$ suffisamment petit. Les centres de ces pics sont localisés aux sommets d’un polygone régulier, tandis que les pics ressemblent, après un changement d’échelle approprié dans la coordonnée $A$, à l’unique solution radiale de

Une construction similaire est faite pour les sommets de deux polygones concentriques et une procédure générale de détection destructures finies organisées est suggérée.