A finiteness result in the free boundary value problem for minimal surfaces

Abstract

It is proved that if an analytic Η-convex body $M$ in $R^3$ admits an infinite number of area minimizing disc type surfaces interior to $M$ and supported by $\partial M$ then $M$ must be diffeomorphic to a solid torus. Moreover, the set of these minimal surfaces then forms an analytic one-parameter family which foliates $M$.

Résumé

On prouve le résultat suivant: si une partie $M$ analytique et Η-convexe de $R^3$ admet dans son intérieur un nombre infini de surfaces minimisantes de type disques et supportées par $\partial M$, il faut que $M$ soit difféomorphe à un tore solide. En plus, l’ensemble des solutions forme une famille analytique de dimension 1 qui constitue un feuilletage de $M$.