A Morse lemma at infinity for Yamabe type problems on domains

Abstract

In this paper we consider the following nonlinear elliptic problem (P): $-\Delta u=u^p$, $u>0$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a bounded and smooth domain in $R^n$, $n⩾4$, $p+1=2n/(n-2)$ is the critical Sobolev exponent. We prove a version of Morse lemmas at infinity for this problem. As application of these lemmas we will give a characterization of the critical points at infinity of the functional corresponding to (P).

Résumé

Dans cet article nous considérons le problème elliptique non linéaire (P) : $-\Delta u=u^p$, $u>0$ dans $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, où $\Omega$ est un domaine borné et régulier de $R^n$, $n⩾4$ et $p+1=2n/(n-2)$ est l’exposent critique de Sobolev. Nous prouvons une version des lemmes de Morse à l’infini pour le problème (P) et nous appliquerons ces lemmes afin de donner une caractérisation des points critiques à l’infini de la fonctionnelle correspondante au problème (P).