Gravity solitary waves with polynomial decay to exponentially small ripples at infinity

Abstract

In this paper, we study the travelling gravity waves of velocity $c$ in a system of two layers of perfect fluids, the bottom one being infinitely deep, the upper one having a finite thickness $h$. We assume that the flow is potential, and the dimensionless parameters are the ratio between densities $\rho ={\rho }_2/{\rho }_1$ and $\lambda =gh/c^2$. For $\epsilon =1-\lambda (1-\rho )$ near $0^{+}$, the existence of periodic travelling waves of arbitrary small amplitude and the existence of generalized solitary waves with ripples at infinity of size larger than ${\epsilon }^{5/2}$ and polynomial decay rate were established in [7]. In this paper we improve this former result by showing the existence of generalized solitary waves with exponentially small ripples at infinity (of order $\mathcal{O}(e^{-c/\epsilon }))$. We conjecture the nonexistence of true solitary waves in this case. The proof is based on a spatial dynamical formulation of the problem combined with a study of the analytic continuation of the solutions in the complex field which enables one to obtain exponentially small upper bounds of the oscillatory integrals giving the size of the oscillations at infinity.

Résumé

Cet article est consacré aux ondes progressives de vitesse $c$ dans un système de deux couches superposées de fluides parfaits en écoulement potentiel, la couche inférieure étant de profondeur infinie, et la supérieure de profondeur finie $h$. Les paramètres sans dimension du problème sont le rapport des densités $\rho ={\rho }_2/{\rho }_1$ et $\lambda =gh/c^2$. Pour $\epsilon =1-\lambda (1-\rho )$ voisin de $0^{+}$, l’existence d’ondes progressives périodiques de tailles arbitrairement petites et l’existence d’ondes solitaires généralisées à décroissance polynomiale vers des oscillations de taille supérieure à ${\epsilon }^{5/2}$ ont été obtenues dans [7]. Dans ce présent article nous améliorons ce dernier résultat en montrant l’existence d’ondes solitaires généralisées avec des oscillations résiduelles à l’infini exponentiellement petites (d’ordre $\mathcal{O}(e^{-c/\epsilon }))$. On conjecture la non existence de vraies ondes solitaires dans ce cas. La démonstration est basée sur une formulation de type “dynamique spatiale” du problème combinée avec une étude du prolongement analytique des solutions qui permet d’obtenir des bornes supérieures exponentiellement petites des intégrales oscillantes donnant la taille des oscillations à l’infini.