Généricité d’exposants de Lyapunov non-nuls pour des produits déterministes de matrices

Abstract

We propose a geometric sufficient criterium “à la Furstenberg” for the existence of non-zero Lyapunov exponents for certain linear cocycles over hyperbolic transformations: non-existence of probability measures on the fibers invariant under the cocycle and under the holonomies of the stable and unstable foliations of the transformation. This criterium applies to locally constant and to dominated cocycles over hyperbolic sets endowed with an equilibrium state.

As a consequence, we get that non-zero exponents exist for an open dense subset of these cocycles, which is also of full Lebesgue measure in parameter space for generic parametrized families of cocycles.

This criterium extends to continuous time cocycles obtained by lifting a hyperbolic flow to a projective fiber bundle, tangent to some foliation transverse to the fibers. Again, non-zero Lyapunov exponents are implied by non-existence of transverse measures invariant under the holonomy of the foliation.

We apply this last result to a natural geometric context: the geodesic flow tangent to the leaves of a foliation obtained as the suspension of a representation $\rho :{\pi }_1(S)\to PSL(2,C)$ of the fundamental group of a hyperbolic compact surface. We prove the existence of non-zero Lyapunov exponents for the corresponding cocycle, for $\rho$ in a dense open subset of all the representations. As a consequence we get that this foliated geodesic flow has a unique Sinai–Ruelle–Bowen measure.

Résumé

Pour garantir l’existence d’exposants de Lyapunov non-nuls pour certains cocycles linéaires au-dessus de dynamiques hyperboliques, nous proposons un critère géométrique “à la Furstenberg” : la non-existence d’une famille de probabilités dans les fibres, invariante par l’action du cocycle et par les holonomies de feuilletages stable et instable. Ce critère s’applique quand le cocycle est localement constant ou dominé, et quand la base est un ensemble hyperbolique muni d’un état d’équilibre.

En conséquence nous montrons l’existence d’exposants non-nuls pour un ouvert dense de l’ensemble de ces cocycles, qui a mesure de Lebesgue totale dans l’espace des paramètres pour une famille générique de tels cocycles.

Ce critère s’adapte aux cocycles en temps continu obtenus en relevant un flot hyperbolique sur les feuilles d’un feuilletage transversalement projectif, transverse aux fibres d’un fibré projectif. De nouveau, l’existence d’exposants non-nuls est impliquée par la non-existence d’une mesure transverse invariante par les holonomies du feuilletage.

Nous appliquons ce dernier résultat au contexte géométrique suivant : le flot géodésique tangent aux feuilles d’un feuilletage obtenu par suspension d’une représentation $\rho :{\pi }_1(S)\to PSL(2,C)$ du groupe fondamental d’une surface compacte hyperbolique $S$. Nous montrons l’existence d’exposants non-nuls pour le cocycle correspondant, pour un ouvert dense de toutes les représentations $\rho$. En conséquence nous obtenons que le flot géodésique feuilleté possède une unique mesure de Sinaı̈–Ruelle–Bowen.