Positive solutions of slightly supercritical elliptic equations in symmetric domains

Abstract

This paper deals with existence and multiplicity of solutions for problem $P(\epsilon ,\Omega )$ below, which concentrate and blow-up at a finite number of points as $\epsilon \to 0$. We give sufficient conditions on $\Omega$ which guarantee that the following property holds: there exists $\bar{k}(\Omega )$ such that, for each $k⩾\bar{k}(\Omega )$, problem $P(\epsilon ,\Omega )$, for $\epsilon >0$ small enough, has at least one solution blowing up as $\epsilon \to 0$ at exactly $k$ points. Exploiting the properties of the Green and Robin functions, we also prove that the blow up points approach the boundary of $\Omega$ as $k\to \infty$. Moreover we present some examples which show that $P(\epsilon ,\Omega )$ may have $k$-spike solutions of this type also when $\Omega$ is a contractible domain, not necessarily close to domains with nontrivial topology and, for $\epsilon >0$ small and k large enough, even when it is very close to star-shaped domains.

Résumé

Nous démontrons que, si le domaine $\Omega$ satisfait certaines conditions, le problème $P(\epsilon ,\Omega )$ ci-dessous, pour $\epsilon >0$ suffisamment petit et $k$ grand, admet des solutions qui pour $\epsilon \to 0$ se concentrent et explosent exactement en $k$ points. Nous prouvons aussi que le point de concentration s’approche du bord de $\Omega$ quand $k\to \infty$ et que le nombre de solutions est arbitrairement grand pourvu que $\epsilon$ soit suffisamment petit. La méthode de démonstration repose sur les propriétés des fonctions de Green et de Robin du laplacien sur $\Omega$. De plus nous donnons des exemples qui montrent que parmi les ouverts bornés $\Omega$ qui satisfont nos conditions, il y en a aussi de contractiles, qui ne sont pas de perturbations d’ouverts non contractiles et peuvent même être arbitrairement proches de domaines étoilés.