Multiplicity of positive solutions for an indefinite superlinear elliptic problem on RN

Abstract

We consider the elliptic problem $-\Delta u-\lambda u=a(x)u^p$, with $p>1$ and $a(x)$ sign-changing. Under suitable conditions on $p$ and $a(x)$, we extend the multiplicity, existence and nonexistence results known to hold for this equation on a bounded domain (with standard homogeneous boundary conditions) to the case that the bounded domain is replaced by the entire space $R^N$. More precisely, we show that there exists $\Lambda >0$ such that this equation on $R^N$ has no positive solution for $\lambda >\Lambda$, at least two positive solutions for $\lambda \in (0,\Lambda )$, and at least one positive solution for $\lambda \in (-\infty ,0]\cup \{\Lambda \}$.

Résumé

On considère le problème elliptique $-\Delta u-\lambda u=a(x)u^p$, où $p>1$ et $a(x)$ change le signe. Sous des conditions adéquates sur $p$ et $a(x)$, nous étendons les résultats connus sur la multiplicité, l’existence et la non-existence de cette équation sur un domaine borné (avec des conditions aux limites homogènes naturelles) où le domaine borné est remplacé par l’espace tout entier. Plus précisement, nous montrons qu’il existe $\Lambda >0$ tel que cette équation dans $R^N$ n’a aucune solution positive pour $\lambda >\Lambda$, au moins deux solutions positives pour $\lambda \in (0,\Lambda )$, et au moins une solution positive pour $\lambda \in (-\infty ,0]\cup \{\Lambda \}$.