Existence and nonexistence results for anisotropic quasilinear elliptic equations

Abstract

We consider a new class of quasilinear elliptic equations with a power-like reaction term: the differential operator weights partial derivatives with different powers, so that the underlying functional-analytic framework involves anisotropic Sobolev spaces. Critical exponents for embeddings of these spaces into $L^q$ have two distinct expressions according to whether the anisotropy is “concentrated” or “spread out”. Existence results in the subcritical case are influenced by this phenomenon. On the other hand, nonexistence results are obtained in the at least critical case in domains with a geometric property which modifies the standard notion of starshapedness.

Résumé

Nous considérons une nouvelle classe d’équations elliptiques quasilinéaires avec un terme de réaction de type puissance : les dérivées partielles ont des puissances différentes dans l’opérateur différentiel, de façon que l’espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. Les exposants critiques pour les injections de ces espaces dans $L^q$ ont des expressions différentes qui dépendent de la “concentration” de l’anisotropie. Nos résultats d’existence dans le cas sous-critique sont influencés par ce phenomène. D’autre part, nos résultats de non existence dans le cas critique et sur-critique sont obtenus dans des domaines ayant une propriété qui modifie la notion usuelle d’ensemble étoilé.