Sinai–Ruelle–Bowen measures for contracting Lorenz maps and flows

Abstract

We consider a large class of one-dimensional maps arising from the contracting Lorenz attractors for three dimensional flows: the eigenvalues ${\lambda }_2<{\lambda }_1<0<{\lambda }_3$ of the flow at the singularity satisfy ${\lambda }_1+{\lambda }_3<0$ (instead of ${\lambda }_1+{\lambda }_3>0$ as in the classical geometric Lorenz models). Such flows were studied by A. Rovella who showed that non-uniform expansiveness is a persistent form of behavior (positive Lebesgue measure sets of parameters). Using mainly expansiveness, we prove the existence of absolutely continuous measures invariant under these maps, and from this fact we are able to construct Sinai–Ruelle–Bowen measures for the original flows that generate them.

Résumé

Nous considérons une classe importante de transformations uni-dimensionelles provenant d’attracteurs de Lorenz contractants des flots en dimension 3: les valeurs propres ${\lambda }_2<{\lambda }_1<0<{\lambda }_3$ du flot au point singulier satisfont ${\lambda }_1+{\lambda }_3<0$ (au lieu de ${\lambda }_1+{\lambda }_3>0$, comme dans les modèles geòmétriques de Lorenz standards). Ces flots ont été etudiés par A. Rovella qui a montré que l’expansion non-uniforme a un comportament persistant (ensembles de paramètres de mesure positive). En utilisant cette expansion non-uniform, nous démonstrons l’existence de mesures invariantes par ces transformations qui sont absolutement continues. De ce fait, nous déduisons l’existence de mesures SRB pour le flots qui les induisent.