Global higher integrability of Jacobians on bounded domains

Abstract

We give conditions for a vector-valued function $u\in W^{1,n}(\Omega ,R^n)$, satisfying $\det Du(x)\ge 0$ on a bounded domain $\Omega$, which imply that $\det Du(x)$ is globally higher integrable on $\Omega$. We also give conditions for $u\in W^{1,n}(\Omega ,R^n)$ such that $\det Du$ belongs to the Hardy space $h_z^1(\Omega )$ and exhibit some examples which show that our conditions are in some sense optimal. Applications to the weak convergence of Jacobians follow. Div-curl type extensions of these results to forms are also considered.

Résumé

Pour une fonction à valeurs vectorielles $u\in W^{1,n}(\Omega ,R^n)$ telle que $\det Du(x)\ge 0$ dans un ouvert borné $\Omega$, nous donnons des conditions conduisant à une amélioration de l'intégrabilité globale de $\det Du(x)$ dans un ouvert borné $\Omega$. Nous donnons aussi des conditions sur $u\in W^{1,n}(\Omega ,R^n)$ pour que $\det Du(x)$ appartienne à l'espace de Hardy $h_z^1(\Omega )$. Quelques exemples démontrent que ces conditions sont dans un certain sens optimales. Ces résultats sont appliqués à la convergence faible des jacobiens. Nous examinons aussi l'extension de ces résultats du type div-curl aux formes différentielles.