Nonhomogeneous Cahn–Hilliard fluids

Abstract

In this paper we are interested in the study of a model of nonhomogeneous diphasic incompressible flow. More precisely we consider a coupling of a Cahn–Hilliard and an incompressible Navier–Stokes equations where the densities of the phases are different.

For this general model we can only show the local existence of a unique very regular solution and the existence of weaker solutions is still an open problem. But, if we look at the behavior of the system when the densities tends to be equal (slightly nonhomogeneous case), we show the existence of a global weak solution and of a unique local strong solution (which is in fact global in 2D). Finally, an asymptotic stability result for the metastable states is shown in this slightly nonhomogeneous case.

Résumé

Dans cet article, nous nous intéressons à l’étude d’un modèle d’écoulement diphasique nonhomogène incompressible. Plus précisément, nous considérons un couplage entre une équation de Cahn–Hilliard et une équation de Navier–Stokes incompressible dans lesquelles les densités des deux phases sont différentes.

Pour ce modèle général, nous pouvons seulement prouver l’existence locale et l’unicité d’une solution très régulière, l’existence de solutions plus faibles restant un problème ouvert. En revanche, si nous considérons le comportement du système quand les densités des deux phases sont proches (cas faiblement nonhomogène), nous montrons l’existence de solutions faibles globales et l’existence et l’unicité de solutions fortes locales (en fait globales en dimension 2). Enfin, un résultat de stabilité asymptotique des états métastables est établi, toujours dans le cas faiblement nonhomogène.