Symmetry for exterior elliptic problems and two conjectures in potential theory

Abstract

In this paper we extend a classical result of Serrin to a class of elliptic problems $\Delta u+f(u,|\nabla u|)=0$ in exterior domains $R^N\setminus G$ (or $\Omega \setminus G$ with $\Omega$ and $G$ bounded). In case $G$ is an union of a finite number of disjoint $C^2$-domains $G_i$ and $u=a_i>0$, $\partial u/\partial n={\alpha }_i⩽0$ on $\partial G_i$, $u\to 0$ at infinity, we show that if a non-negative solution of such a problem exists, then $G$ has only one component and it is a ball. As a consequence we establish two results in electrostatics and capillarity theory. We further obtain symmetry results for quasilinear elliptic equations in the exterior of a ball.

Résumé

Nous étendons un résultat classique de Serrin à des problèmes elliptiques $\Delta u+f(u,|\nabla u|)=0$ dans des domaines extérieures du type $R^N\setminus G$ (où $\Omega \setminus G$, avec $\Omega$ et $G$ bornés). En supposant que $G={\bigcup }_{i=1}^k{G}_i$, où $G_i$ sont des domaines disjoints de classe $C^2$, et que $u=a_i>0$, $\partial u/\partial n={\alpha }_i⩽0$ sur $\partial G_i$, $u\to 0$ à l’infini, nous montrons que ce problème admet une solution classique seulement si $G$ a une seule composante connexe et $G$ est une boule. Comme conséquence nous obtenons deux résultats sur des problèmes provenant de l’électrostatique et de la théorie de la capillarité. Nous obtenons aussi des résultats de symétrie pour des équations elliptiques quasi-linéaires dans l’extérieur d’une boule.