A priori estimates for solutions of fully nonlinear special Lagrangian equations

Abstract

We derive an a priori $C^{2,\alpha }$ estimate in dimension three for the equation $F(D^{2}u)=\arctan {\lambda }_1+\arctan {\lambda }_2+\arctan {\lambda }_3=c$, where ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ are the eigenvalues of the Hessian $D^{2}u$. For $-\pi /2<c<\pi /2$, the c-level set of $F(D^{2}u)$ fails the convexity condition. Note that for any solution $u$ of the above equation, $(x,\nabla u(x))$ is a minimizing graph in $R^6$. For $c=0,\pm \pi$, the equation is equivalent to $▵u=\det D^{2}u$.

Résumé

On déduit une estimation a priori $C^{2,\alpha }$ en dimension trois pour l’équation $F(D^{2}u)=\arctan {\lambda }_1+\arctan {\lambda }_2+\arctan {\lambda }_3=c$, où ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ sont les valuers propres du hessien $D^{2}u$. Pour $-\pi /2<c<\pi /2$, l’ensemble de niveau c du $F(D^{2}u)$ ne satisfait pas la condition de convexité. Remarquez que pour n’importe qu’elle solution $u$ de l’équation, $(x,\nabla u(x))$ est un graphe qui minimise l’aire dans $R^6$. Pour $c=0,\pm \pi$, l’équation est équivalent à $▵u=\det D^{2}u$.