Null and approximate controllability for weakly blowing up semilinear heat equations

Abstract

We consider the semilinear heat equation in a bounded domain of $R^d$, with control on a subdomain and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We prove that the system is null-controllable at any time provided a globally defined and bounded trajectory exists and the nonlinear term $f(y)$ is such that $|f(s)|$ grows slower than $|s|\log 3/2(1+|s|)$ as $|s|\to \infty$. For instance, this condition is fulfilled by any function $f$ growing at infinity like $|s|\log p(1+|s|)$ with $1<p<3/2$ (in this case, in the absence of control, blow-up occurs). We also prove that, for some functions $f$ that behave at infinite like $|s|\log p(1+|s|)$ with $p>2$, null controllability does not hold. The problem remains open when $f$ behaves at infinity like $|s|\log p(1+|s|)$, with $3/2\le p\le 2$ . Results of the same kind are proved in the context of approximate controllability.

Résumé

On considère l’équation de la chaleur semilinéaire dans un domaine borné de $R^d$, avec un contrôle à support dans un sous-domaine et avec des conditions de Dirichlet au bord. On démontre que, s’il existe une trajectoire bornée et globalement définie et le terme non linéaire $f(y)$ est tel que $|f(s)|$ croı̂t moins vite que $|s|\log 3/2(1+|s|)$ quand $|s|\to \infty$, alors le système est exactement contrôlable à zéro dans un temps arbitrairement petit. Par exemple, cette condition sur $f$ est satisfaite si $f(s)$ croı̂t à l’infini comme $|s|\log 3/2(1+|s|)$ avec $1<p<3/2$ (dans ce cas, en absence de contrôle, on a explosion en temps fini). On démontre aussi que, pour tout $p>2$, on n’a pas la contrôlabilité exacte à zéro pour certaines fonctions $f$ dont le comportement à l’infini est comme celui de $|s|\log p(1+|s|)$ . Cette question reste ouverte lorsque $3/2\le p\le 2$ . Finalement, on démontre des résultats du même type dans le contexte de la contrôlabilité approchée.