Macroscopic limit of Vlasov type equations with friction

Abstract

The purpose of this paper is to investigate the limit of some kinetic equations with a strong force. Due to friction, the solution concentrates to a monokinetic distribution so as to keep the total of force bounded and in the limit we recover a macroscopic system. This kind of asymptotics is a natural question when the mass of the particles is very small or their inertia is neglected. After that we also study the properties of the limit system and especially the uniqueness of solutions which provides the full convergence of the family of solutions to the kinetic equation.

Résumé

Cet article se propose d’étudier la limite de solutions d’une équation cinétique avec frottement lorsque les termes de force deviennent prédominants. A cause du frottement, les solutions se concentrent progressivement en vitesse de manière à ce que la somme des forces reste bornée ; à la limite cette concentration nous oblige à remplacer l’équation cinétique par un système macroscopique. Cette problème apparait notamment quand on fait tendre vers zéro la masse des particules ou quand on néglige leur inertie. Enfin certaines propriétés du système, et particulièrement l’unicité, seront détaillées afin d’obtenir une convergence de toute la suite des solutions et pas seulement d’une suite extraite.