$L^1$ existence and uniqueness results for quasi-linear elliptic equations with nonlinear boundary conditions

Abstract

In this paper we study the questions of existence and uniqueness of weak and entropy solutions for equations of type $-\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du)+\gamma (u)\ni \varphi$, posed in an open bounded subset $\Omega$ of ${\mathbb{R}}^N$, with nonlinear boundary conditions of the form $\mathbf{a}(x,Du)\cdot \eta +\beta (u)\ni \psi$. The nonlinear elliptic operator $\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du)$ is modeled on the $p$-Laplacian operator ${\mathrm{\Delta }}_p(u)=\mathrm{div}(|Du{|}^{p-2}Du)$, with $p>1$, $\gamma$ and $\beta$ are maximal monotone graphs in ${\mathbb{R}}^2$ such that $0\in \gamma (0)$ and $0\in \beta (0)$, and the data $\varphi \in L^1(\Omega )$ and $\psi \in L^1(\partial \Omega )$.

Résumé

Dans ce papier nous étudions les questions d'existence et d'unicité de solution faibles et entropiques pour des équations elliptiques de la forme $-\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du)+\gamma (u)\ni \varphi$, dans un domaine borné $\Omega \subset {\mathbb{R}}^N$, avec des conditions au bord générales de la forme $\mathbf{a}(x,Du)\cdot \eta +\beta (u)\ni \psi$. L'opérateur $\mathrm{div}\mathbf{a}(x,Du)$ généralise l'opérateur $p$-Laplacien ${\mathrm{\Delta }}_p(u)=\mathrm{div}(|Du{|}^{p-2}Du)$, avec $p>1$, $\gamma$ et $\beta$ sont des graphes maximaux monotones dans ${\mathbb{R}}^2$ tels que $0\in \gamma (0)\cap \beta (0)$, et les données $\varphi$ et $\psi$ sont des fonctions $L^1$.