On the relaxation of some classes of pointwise gradient constrained energies

Abstract

The integral representation problem on $\mathrm{BV}(\Omega )$ for the $L^1(\Omega )$-lower semicontinuous envelope $\overline{F}$ of the functional $F\text{:}u\in W^{1,\infty }(\Omega )\mapsto {\int }_{\Omega }f(\nabla u)\mathrm{d}x$ is approached when $f$ is a Borel function, not necessarily convex, with values in $[0,+\infty ]$. The presence of the value +∞ in the image of $f$ involves a pointwise gradient constraint on the admissible configurations, since those generating the relaxation process must satisfy the condition $\nabla u(x)\in \mathrm{dom}f$ for a.e. $x\in \Omega$. The main novelty relies in the absence of any convexity assumption on the domain of $f$. For every convex bounded open set $\Omega$, $\overline{F}$ is represented on the whole $\mathrm{BV}(\Omega )$ as an integral of the calculus of variations by means of the convex lower semicontinuous envelope of $f$. Due to the lack of the convexity properties of $\mathrm{dom}f$, the classical integral representation techniques, based on measure theoretic arguments, seem not to work properly, thus an alternative approach is proposed. Applications are given to the relaxation of Dirichlet variational problems and to first order differential inclusions.

Résumé

Le problème de représentation intégrale sur $\mathrm{BV}(\Omega )$ pour l'enveloppe $L^1(\Omega )$-semi-continue inférieurement $\overline{F}$ de la fonctionnelle $F\text{:}u\in W^{1,\infty }(\Omega )\mapsto {\int }_{\Omega }f(\nabla u)\mathrm{d}x$ est considéré dans le cas où $f$ est Borelienne non nécessairement convexe, à valeurs dans $[0,+\infty ]$. La présence de la valeur +∞ dans l'image de $f$ implique une contrainte ponctuelle sur le gradient des configurations admissibles, puisque celles qui jouent un rôle dans le processus de relaxation doivent satisfaire la condition $\nabla u(x)\in \mathrm{dom}f$ p.p. dans $\Omega$. La nouveauté principale consiste en l'absence d'hypothèses de convexité sur le domaine de $f$. Pour tout ensemble ouvert borné et convexe $\Omega$, $\overline{F}$ admet une représentation sur $\mathrm{BV}(\Omega )$ tout entier comme une intégrale du calcul des variations au moyen de l'enveloppe convexe et semi-continue inférieurement de $f$. En raison du manque des propriétés de convexité de $\mathrm{dom}f$, les techniques classiques de représentation intégrale, basées sur des arguments de théorie de la mesure, semblent ne pas fonctionner convenablement, donc une approche alternative est proposée. Des applications sont données à la relaxation des problèmes variationnels de type Dirichlet et aux inclusions différentielles du premier ordre.