The uniform Korn–Poincaré inequality in thin domains
Marta Lewicka
Department of Mathematics, Rutgers University, 110 Frelinghuysen Rd., Piscataway, NJ 08854-8019, USAStefan Müller
Hausdorff Center for Mathematics & Institute for Applied Mathematics, Bonn University, Endenicher Allee 60, D-53115 Bonn, Germany
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Abstract
We study the Korn–Poincaré inequality:
in domains that are shells of small thickness of order , around an arbitrary compact, boundaryless and smooth hypersurface in . By we denote the symmetric part of the gradient , and we assume the tangential boundary conditions:
We prove that remains uniformly bounded as , for vector fields in any family of cones (with , uniform in ) around the orthogonal complement of extensions of Killing vector fields on .
We show that this condition is optimal, as in turn every Killing field admits a family of extensions , for which the ratio blows up as , even if the domains are not rotationally symmetric.
Résumé
On étudie lʼinégalité de Korn–Poincaré :
dans les domaines de type des coques dʼépaisseurs dʼordre autour dʼune hypersurface compacte sans bord et regulière de . Par , on réfère à la partie symétrique du gradient et on suppose la condition au bord :
On démontre que reste uniformément borné car , pour tout champ de vecteurs dans une famille de cônes donnée (faisant un , uniforme en ) autour du complément orthogonal des extensions de champs de vecteurs de Killing sur .
On montre que cette condition est optimale comme tout champ de Killling sur admet une famille dʼextensions sur pour lesquelles le rapport tend à lʼinfini comme , même si les ne possèdent pas de symmetrie axiale.
Cite this article
Marta Lewicka, Stefan Müller, The uniform Korn–Poincaré inequality in thin domains. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 28 (2011), no. 3, pp. 443–469
DOI 10.1016/J.ANIHPC.2011.03.003