The uniform Korn–Poincaré inequality in thin domains

Abstract

We study the Korn–Poincaré inequality:

in domains $S^h$ that are shells of small thickness of order $h$, around an arbitrary compact, boundaryless and smooth hypersurface $S$ in ${\mathbf{R}}^n$. By $D(u)$ we denote the symmetric part of the gradient $\nabla u$, and we assume the tangential boundary conditions:

We prove that $C_h$ remains uniformly bounded as $h\to 0$, for vector fields $u$ in any family of cones (with $\text{angle}<\pi /2$, uniform in $h$) around the orthogonal complement of extensions of Killing vector fields on $S$.

We show that this condition is optimal, as in turn every Killing field admits a family of extensions $u^h$, for which the ratio $\Vert u^h{\Vert }_{W^{1,2}(S^h)}/\Vert D(u^h){\Vert }_{L^2(S^h)}$ blows up as $h\to 0$, even if the domains $S^h$ are not rotationally symmetric.

Résumé

On étudie lʼinégalité de Korn–Poincaré :

dans les domaines $S^h$ de type des coques dʼépaisseurs dʼordre $h$ autour dʼune hypersurface compacte sans bord et regulière $S$ de ${\mathbf{R}}^n$. Par $D(u)$, on réfère à la partie symétrique du gradient $\nabla u$ et on suppose la condition au bord :

On démontre que $C_h$ reste uniformément borné car $h\to 0$, pour tout champ de vecteurs dans une famille de cônes donnée (faisant un $\text{angle}<\pi /2$, uniforme en $h$) autour du complément orthogonal des extensions de champs de vecteurs de Killing sur $S$.

On montre que cette condition est optimale comme tout champ de Killling $u$ sur $S$ admet une famille dʼextensions $u^h$ sur $S^h$ pour lesquelles le rapport $\Vert u^h{\Vert }_{W^{1,2}(S^h)}/\Vert D(u^h){\Vert }_{L^2(S^h)}$ tend à lʼinfini comme $h\to 0$, même si les $S^h$ ne possèdent pas de symmetrie axiale.