On backward-time behavior of the solutions to the 2-D space periodic Navier–Stokes equations

Abstract

In 1995, Constantin, Foias, Kukavica, and Majda had shown that the 2-D space periodic Navier–Stokes equations have a rich set of the solutions that exist for all times $t\in \mathbb{R}$ and grow exponentially in Sobolev $H^1$ norm when $t\to -\infty$. In the present note we show that these solutions grow exponentially (when $t\to -\infty$) in any Sobolev $H^m$ norm ($m⩾2$) provided the driving force is bounded in $H^{m-1}$ norm.

Résumé

En 1995 Constantin, Foias, Kukavica et Majda ont demontré que les équations de Navier–Stokes périodiques dans ${\mathbb{R}}^2$ possèdent un ensemble ample des solutions qui existent pour tout temps $t\in \mathbb{R}$ et qui ont une croissance exponentielle (pour $t\to -\infty$) dans l'espace de Sobolev $H^1$. Dans cet article nous montrons que ces solutions ont aussi une croissance exponentielle (pour $t\to -\infty$) dans tout espace de Sobolev $H^m$ ($m⩾2$) à condition que la force soit dans l'espace de Sobolev $H^{m-1}$.