Blowing up solutions for an elliptic Neumann problem with sub- or supercritical nonlinearity. Part II: $N\ge 4$

Abstract

We consider the sub- or supercritical Neumann elliptic problem $-\mathrm{\Delta }u+\mu u=u^{\frac{N+2}{N-2}+\varepsilon }$, $u>0$ in $\Omega$; $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ on $\partial \Omega$, $\Omega$ being a smooth bounded domain in ${\mathbb{R}}^N$, $N⩾4$, $\mu >0$ and $\varepsilon \ne 0$ a small number. We show that for $\varepsilon >0$, there always exists a solution to the slightly supercritical problem, which blows up at the most curved part of the boundary as $\varepsilon$ goes to zero. On the other hand, for $\varepsilon <0$, assuming that the domain is not convex, there also exists a solution to the slightly subcritical problem, which blows up at the least curved part of the domain.

Résumé

$\Omega$ étant un domaine borné régulier de ${\mathbb{R}}^N$, $N⩾4$, on considère le problème elliptique de Neumann $-\mathrm{\Delta }u+\mu u=u^{\frac{N+2}{N-2}+\varepsilon }$, $u>0$ dans $\Omega$ ; $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ sur $\partial \Omega$, où $\mu >0$ est un paramètre fixé. On montre que pour $\varepsilon >0$ assez petit, le problème admet une solution non-constante, qui se concentre quand $\varepsilon$ tend vers zéro en un point de la frontière où la courbure moyenne est maximum. En supposant que le domaine n'est pas convexe, on montre aussi, pour $\varepsilon <0$ assez proche de zéro, l'existence d'une solution non-constante, qui se concentre quand $\varepsilon$ tend vers zéro en un point de la frontière où la courbure moyenne est minimum.