A compactness theorem of n-harmonic maps

Abstract

For $n⩾3$, let $\Omega \subset {\mathbf{R}}^n$ be a bounded domain and $N\subset {\mathbf{R}}^L$ be a compact smooth Riemannian submanifold without boundary. Suppose that $\{u_n\}\subset W^{1,n}(\Omega ,N)$ are weak solutions to the (perturbed) $n$-harmonic map equation (1.2), satisfying (1.3), and $u_k\to u$ weakly in $W^{1,n}(\Omega ,N)$. Then $u$ is an $n$-harmonic map. In particular, the space of $n$-harmonic maps is sequentially compact for the weak-$W^{1,n}$ topology.

Résumé

Pour $n⩾3$, soit $\Omega \subset {\mathbf{R}}^n$ un domaine borné et soit $N\subset {\mathbf{R}}^L$ une sous-variété compacte sans bord. Soient $\{u_n\}\subset W^{1,n}(\Omega ,N)$ des solutions de l'équation (perturbée) (1.2) pour les applications $n$-harmoniques, telles que $u_k\to u$ faiblement dans $W^{1,n}(\Omega ,N)$. Alors $u$ est une application $n$-harmonique. En particulier, l'espace des applications $n$-harmoniques est sequentiellement compact dans la topologie $W^{1,n}$ faible.