The porous medium equation as a finite-speed approximation to a Hamilton-Jacobi equation

  • D.G. Aronson

    School of Mathematics, University of Minnesota, Minneapolis, MN 55455
  • J.L. Vazquez

    División de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain

Abstract

It is known that solutions of the porous medium equation ut = (um)xx converge to solutions of the heat equation ut = uxx as m ↓ 1 if the initial datum u(x, 0) is kept fixed. For porous medium flow u represents a suitably scaled density and v = mum − 1/(m − 1) represents the pressure. We prove that v converges to a solution of the Hamilton-Jacobi equation vt = (vx)2 as m ↓ 1 if v(x, 0) is fixed. Moreover, if v(x, 0) has compact support the interface for the porous medium equation tends to the interface for the latter equation. The limit m ↑ 1 is also discussed. In this fast-diffusion case no interfaces appear.

Résumé

On sait que les solutions de l’equation des milieux poreux ut = (um)xx convergent quand m ↓ 1 vers des solutions de l’équation de la chaleur ut = uxx si l’on fixe la donnée initiale u(x, 0). Comme modèle de l’écoulement d’un gaz dans un milieu poreux u représente la densité et v = mum − 1/(m − 1) est la pression. Nous démontrons que v converge quand m ↓ 1 vers une solution de l’équation de Hamilton-Jacobi vt = (vx)2 si v(x, 0) reste fixée. Si en plus v(x, 0) est à support compact alors l’interface de la solution de l’équation des milieux poreux tend vers celle correspondant à vt = (vx)2. On discute aussi le cas de diffusion rapide m ↑ 1 où il n’y a pas d’interfaces.

Cite this article

D.G. Aronson, J.L. Vazquez, The porous medium equation as a finite-speed approximation to a Hamilton-Jacobi equation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 4 (1987), no. 3, pp. 203–230

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30366-3