The porous medium equation as a finite-speed approximation to a Hamilton-Jacobi equation

Abstract

It is known that solutions of the porous medium equation $u_t=(u^m{)}_{xx}$ converge to solutions of the heat equation $u_t=u_{xx}$ as $m\downarrow 1$ if the initial datum $u(x,0)$ is kept fixed. For porous medium flow $u$ represents a suitably scaled density and $v=m{u}^{m-1}/(m-1)$ represents the pressure. We prove that $v$ converges to a solution of the Hamilton–Jacobi equation $v_t=(v_x{)}^2$ as $m\downarrow 1$ if $v(x,0)$ is fixed. Moreover, if $v(x,0)$ has compact support the interface for the porous medium equation tends to the interface for the latter equation. The limit $m\uparrow 1$ is also discussed. In this fast-diffusion case no interfaces appear.

Résumé

On sait que les solutions de l’equation des milieux poreux $u_t=(u^m{)}_{xx}$ convergent quand $m\downarrow 1$ vers des solutions de l’équation de la chaleur $u_t=u_{xx}$ si l’on fixe la donnée initiale $u(x,0)$. Comme modèle de l’écoulement d’un gaz dans un milieu poreux $u$ représente la densité et $v=m{u}^{m-1}/(m-1)$ est la pression. Nous démontrons que $v$ converge quand $m\downarrow 1$ vers une solution de l’équation de Hamilton–Jacobi $v_t=(v_x{)}^2$ si $v(x,0)$ reste fixée. Si en plus $v(x,0)$ est à support compact alors l’interface de la solution de l’équation des milieux poreux tend vers celle correspondant à $v_t=(v_x{)}^2$. On discute aussi le cas de diffusion rapide $m\uparrow 1$ où il n’y a pas d’interfaces.