Asymptotic behaviour of minimal graphs over exterior domains

Abstract

It is proved that if $u$ is a $C^2(R^n\sim \Omega )$ solution of the minimal surface equation, if $\Omega$ is bounded, and if $n\leqq 7$, then $Du(x)$ has a limit (in $R^n$) as $\left|x\right|\to \infty$. This extends a result of L. Bers for the case $n=2$. The result here is actually obtained as a special application of a more general result valid for all $n$.

Résumé

On démontre que si $u$ est une solution $C^2(R^n\Omega )$ de l’équation de la surface minimale, si $\Omega$ est borné $n\leqq 7$, alors $Du(x)$ a une limite (dans $R^n$) telle que $\left|x\right|\to \infty$. Ceci etend un resultat de L. Bers dans le cas $n=2$. Notre résultat est en fait un corollaire d’un résultat plus général, valable quel que soit $n$.