Linearization and normal form of the Navier-Stokes equations with potential forces

Abstract

We derive a normalization theory for the Navier–Stokes equations with potential (gradient) body forces by means of a global asymptotic expansion of a solution as time goes to infinity. The normal form is the linear Navier–Stokes system if the spectrum of the Stokes operator has no resonances. In the general case, the normal form is an equation in a suitable Fréchet space, whose nonlinear terms correspond to resonances. However, it can be solved by integrating successively an infinite sequence of linear nonhomogeneous differential equations. The normalization mapping is globally defined, analytic, one to one. We illustrate our theory by two simple examples. In particular we relate our normalization for the Burgers equation to the Hopf–Cole transform.

Résumé

On construit une forme normale pour les équations de Navier–Stokes soumises à des forces dérivant d’un potentiel, à l’aide d’un développement asymptotique global de la solution quand $t\to \infty$. La forme normale correspond au système linéaire de Navier-Stokes si le spectre de l’opérateur de Stokes n’a pas de résonance. Dans le cas général la forme normale est une équation dans un espace de Fréchet convenable dont les termes non linéaires correspondent aux résonances. Cependant, on peut le résoudre en intégrant successivement une suite infinie d’équations différentielles linéaires non homogènes. L’opérateur de normalisation est défini globalement, de façon analytique et injective. Nous illustrons notre théorie par deux exemples, en particulier dans le cas de l’équation de Burgers, en reliant notre théorie à la transformée de Hopf–Cole.