Cohomologically rigid vector fields: the Katok conjecture in dimension 3

Abstract

A smooth vector field $X$ on a closed orientable $d$-manifold $M$ is said to be cohomologically rigid when given any $\xi \in C^{\infty }(M,\mathbb{R})$, there exist $u\in C^{\infty }(M,\mathbb{R})$ and $c\in \mathbb{R}$ satisfying

where ${\mathcal{L}}_X$ is the Lie derivative in the $X$ direction. In 1984, Anatole Katok conjectured that every cohomologically rigid vector field should be smoothly conjugated to a Diophantine vector field on the $d$-torus ${\mathbb{T}}^d$. In this work the validity of the Katok conjecture for 3-manifolds is proved.

Résumé

Un champ de vecteurs $X$ sur une variété $M$ compacte orientable de dimension $d$ est dit cohomologiquement rigide si pour toute fonction $\xi \in C^{\infty }(M,\mathbb{R})$ il existe $u\in C^{\infty }(M,\mathbb{R})$ et $c\in \mathbb{R}$ tels que

où ${\mathcal{L}}_X$ désigne la dérivée de Lie dans la direction de $X$. En 1984, Anatole Katok a conjecturé que tout champ de vecteurs cohomologiquement rigide devrait être conjugué par un difféomorphisme lisse à un champ linéaire diophantien sur le tore ${\mathbb{T}}^d$. Dans ce travail nous démontrons la conjecture de Katok pour les variétés de dimension trois.