Fibres dynamiques asymptotiquement compacts exposants de Lyapounov. Entropie. Dimension

Abstract

This paper is divided in tow parts. In the first, we prove an abstract Oseledec’s theorem [OS] in infinite dimension (a spectral theorem for random linear transformation products: construction of Lyapounov exponents and stable associated bundles). The second part is an application of this theorem in a differentiable frame: $E$ is a Banach space, $U$ an open set of $E$, $\varphi :U\to E$ a $C^1$ map, $K\subset E$ a compact set such that $\varphi (K)\subset K$, and $\mu$ a $\varphi$-invariant probability on the Borel sets of $K$. Using some compactness assumptions, we prove the estimation from above of entropy of such map $\varphi$ though the sum of its positive Lyapounov exponents. We also give the proof of the inequality ${\dim }_c(\mu )\leqq {\dim }_L(\mu )$ between the two dimensions: capacity dimension and Lyapounov dimension. The interest of these two different notions of dimension appears for example in the study of strange attractors as shown by Ruelle and Eckmann in [RE].

Résumé

Cet article se compose de deux parties. La première partie démontre un théorème abstrait d’Oseledec [OS] en dimension infinie, améliorant celui de Mañé [MA] (théorème spectral pour les produits d’opérateurs linéaires aléatoires dans un espace de Banach E : construction des exposants de Lyapounov et des sous-espaces stables associés). La deuxième partie est une application de ce théorème dans le cadre différentiel suivant : $U$ est un ouyert de $E$, $\varphi :U\to E$ est de classe $C^1$, laisse stable un compact $\varphi (K)\subset K$, et préserve une mesure de probabilité $\mu$ définie sur les boréliens de $K$. Sous certaines hypothèses de compacité asymptotique sur la suite $(D_x{\varphi }^n{)}_{n\geqq 0}$, on démontre l’inégalité entropique de Ruelle (majoration de l’entropie de par la somme des exposants de Lyapounov positifs), ainsi que la majoration de la dimension capacitaire de $\mu$ par la dimension de Lyapounov du fibré. L’intérêt de ces différentes notions de dimension apparaît par exemple dans l’étude des attracteurs étranges comme l’ont montré Ruelle et Eckmann dans l’article [RE].