Singly periodic solutions of a semilinear equation

Abstract

We consider the solutions of the equation $-{\varepsilon }^2\mathrm{\Delta }u+u-|u{|}^{p-1}u=0$ in $S^1\times \mathbb{R}$, where $\varepsilon$ and $p$ are positive real numbers, $p>1$. We prove that the set of the positive bounded solutions even in $x_1$ and $x_2$, decreasing for $x_1\in ]-\pi ,0[$ and tending to $0$ as $x_2$ tends to $+\infty$ is the first branch of solutions constructed by bifurcation from the ground-state solution $(\varepsilon ,w_0(\frac{x_2}{\varepsilon }))$. We prove that there exists a positive real number ${\varepsilon }_{\star }$ such that for every $\varepsilon \in ]0,{\varepsilon }_{\star }]$ there exists a finite number of solutions verifying the above properties and none such solution for $\varepsilon >{\varepsilon }_{\star }$. The proves make use of compactness results and of the Leray–Schauder degree theory.

Résumé

Nous étudions l'équation $-{\varepsilon }^2\mathrm{\Delta }u+u-|u{|}^{p-1}u=0$ dans $S^1\times \mathbb{R}$, où $\varepsilon$ et $p$ sont des nombres réels strictement positifs, $p>1$. Nous identifions l'ensemble des solutions $(\varepsilon ,u)$ où $u$ est une fonction positive, paire en $x_1$ et $x_2$, décroissante en $x_1$ dans $[-\pi ,0]$ et tendant vers $0$ quand $x_2$ tend vers $+\infty$, comme la première branche de solutions issue d'une bifurcation à partir de l'état fondamental $(\varepsilon ,w_0(\frac{x_2}{\varepsilon }))$. Nous prouvons qu'il existe un réel ${\varepsilon }_{\star }$ tel que pour tout $\varepsilon \in ]0,{\varepsilon }_{\star }]$ il y a un nombre fini de solutions vérifiant les propriétés énoncées ci-dessus, et aucune telle solution pour $\varepsilon >{\varepsilon }_{\star }$. Les preuves utilisent des résultats de compacité et la théorie du degré de Leray–Schauder.