Singly periodic solutions of a semilinear equation

  • Geneviève Allain

    Université Paris-Est, Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées, UMR CNRS 8050, Faculté de Sciences et Technologie, 61, av. du Général de Gaulle, 94010 Créteil cedex, France
  • Anne Beaulieu

    Université Paris-Est, Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées, UMR CNRS 8050, 5 boulevard Descartes, 77454 Marne la Vallée cedex 2, France

Abstract

We consider the solutions of the equation in , where ɛ and p are positive real numbers, . We prove that the set of the positive bounded solutions even in and , decreasing for and tending to 0 as tends to +∞ is the first branch of solutions constructed by bifurcation from the ground-state solution . We prove that there exists a positive real number such that for every there exists a finite number of solutions verifying the above properties and none such solution for . The proves make use of compactness results and of the Leray–Schauder degree theory.

Résumé

Nous étudions l'équation dans ,ɛ et p sont des nombres réels strictement positifs, . Nous identifions l'ensemble des solutions u est une fonction positive, paire en et , décroissante en dans et tendant vers 0 quand tend vers +∞, comme la première branche de solutions issue d'une bifurcation à partir de l'état fondamental . Nous prouvons qu'il existe un réel tel que pour tout il y a un nombre fini de solutions vérifiant les propriétés énoncées ci-dessus, et aucune telle solution pour . Les preuves utilisent des résultats de compacité et la théorie du degré de Leray–Schauder.

Cite this article

Geneviève Allain, Anne Beaulieu, Singly periodic solutions of a semilinear equation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 4, pp. 1277–1297

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2008.10.001