A priori interior gradient bounds for solutions to elliptic Weingarten equations

Abstract

In this paper a maximum principle approach is used to derive a priori interior gradient bounds for smooth solutions to the Weingarten equations

Here $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ is the vector of principal curvatures of the graph of u at a point $(x,u(x))$ on the graph, with downward normal $v$. One requires a one-sided height bound $(u<0)$, natural structure conditions on the prescribed function $\psi$, and the restriction that all $\lambda$ lie in a certain cone of eigenvalues for which $f$ is elliptic. The result generalizes what is known to be true for the prescribed mean curvature equation ($k=1$).

Résumé

Dans cet article une méthode de principe du maximum est employée pour dériver une majoration a priori des gradients intérieurs pour les solutions $C^3$ d’équations elliptiques de Weingarten:

ici $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ est le vecteur des courbatures du graphe de $u$ au point $(x,u(x))$ de ce graphe avec un normal (vers le bas) $v$. Il faut avoir une majoration $(u<0)$, des conditions naturelles sur la fonction $\psi$, et la contrainte que tous les $\lambda$ se situent dans un certain cône de valeurs propres pour lesquelles $f$ est elliptique. Ce résultat généralise ce qui est connu dans le cas de l’équation de la courbature moyenne ($k=1$).