Remarks on the large time behaviour of a nonlinear diffusion equation

Abstract

Consider the diffusion equation $u_t-\Delta u=|u{|}^{p-1}u$ (where $p>1+\frac{2}{\mathrm{N}}$ and $(N-2)p<N+2$) on the space $R^N$. We prove that either $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ blows-up in finite time or $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ goes to zero like $t^{-1/(p-1)}$ as $t\to +\infty$. We give also a new proof to the fact that when $u(t)\geqq 0$ and $1<p\leqq 1+\frac{2}{\mathrm{N}}$ then $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ blows-up in finite time. Sufficient conditions for global existence or blow-up are given, and the case where instead of $R^N$ one has a cone like domain is also studied.

Résumé

Nous étudions le comportement en temps des solutions de $u_t-\Delta u=|u{|}^{p-1}u$. Nous montrons que si $p>1+\frac{2}{\mathrm{N}}$ et $(N-2)p<N+2$, ou bien $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ explose en temps fini, ou bien $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ tend vers zéro comme $t-1/(p-1)$ lorsque $t\to \infty$. On donne également une nouvelle démonstration du fait que si $1<p\leqq 1+\frac{2}{\mathrm{N}}$ et $u(t)\geqq 0$, alors $\Vert u(t){\Vert }_{\infty }$ explose en temps fini. Des conditions suffisantes pour l’existence globale (ou l’explosion en temps fini) sont présentées, et le cas où $R^N$ est remplacé par un cône est également étudié.