Gradient theory of phase transitions with boundary contact energy

Abstract

We study the asymptotic behavior as $\epsilon \to 0^{+}$ of solutions of the variational problems for the Van der Waals–Cahn–Hilliard theory of phase transitions in a fluid. We assume that the internal free energy, per unit volume, is given by ${\epsilon }^2|\nabla \rho {|}^2+W(\rho )$ and the contact energy with the container walls, per unit surface area, is given by $\epsilon \sigma (\rho )$, where $\rho$ is the density. The result is that such solutions approximate a two-phases configuration satisfying a variational principle related to the equilibrium configuration of liquid drops.

Résumé

Nous étudions ici le comportement asymptotique pour $\epsilon \to 0^{+}$ des solutions des problèmes variationnels qui viennent de la théorie de Van der Waals–Cahn–Hilliard sur les transitions de phase des fluides. Nous faisons l’hypothèse que l’énergie libre de Gibbs, pour unité de volume, est donnée par ${\epsilon }^2|\nabla \rho {|}^2+W(\rho )$ et que l’énergie de contact avec la surface intérieure du containeur, pour unité de surface, est donnée par $\epsilon \sigma (\rho )$, où $\rho$ est la densité. Le résultat est que ces solutions approchent une configuration à deux phases qui satisfait un principe variationnel lié aux configurations à l’équilibre des gouttes.