Nonlinear Evolution Equations and Analyticity. I

Abstract

We prove a theorem on abstract nonlinear evolution equations ${\partial }_{t}u=F(t,u)$ in a Banach space, which aims at estimating certain families of Liapunov functions for the solutions. The theorem is useful in proving global analyticity (in space variables) of solutions of various partial differential equations, such as the equations of Korteweg–de Vries, Benjamin–Ono, Euler, Navier–Stokes, nonlinear Schrödinger, etc. In this paper it is shown that if the initial state of the KdV or the BO equation has an analytic continuation that is analytic and $L^2$ in a strip containing the real axis, then the solution (which is unique in $H^2(R)$) has the same property for all time, though the width of the strip might decrease with time.

Résumé

On démontre un théorème sur des équations d’évolution non-linéaires abstraites dans un espace de Banach, visant à estimer certaines fonctions de Liapounov pour les solutions. Ce théorème sert à démontrer l’analyticité globale (en espace) des solutions de diverses équations aux dérivées partielles. On montre en particulier que si la condition initiale de l’équation de Korteweg–de Vries ou de Benjamin–Ono a un prolongement analytique $L^2$ dans une bande autour de l’axe réel, alors la solution (unique dans $H^2$) a la même propriété à tout instant, bien que la largeur de la bande puisse décroître avec le temps.