The Wiener criterion and quasilinear uniformly elliptic equations

Abstract

In this paper the Dirichlet problem is considered for a wide class of quasilinear elliptic equations with $C^1$ coefficients in divergence form. The main result is that if $\Omega$ is an arbitrary bounded open subset of $R^n$ and $\psi$ is a continuous function defined on the boundary of $\Omega$, then there is a solution to the equation in $\Omega$ which assumes the boundary data continuously at all points at which a Wiener condition is satisfied. This condition is satisfied at all points of the boundary except for a set of capacity zero.

Résumé

Dans ce travail nous considérons le problème de Dirichlet pour une large classe d’équations elliptiques avec des coefficients de classe $C^1$. Le résultat principal est le suivant. Soit $\Omega$ un ensemble ouvert borné arbitraire dans $R^n$, et soit $\psi$ une fonction continue sur la frontière de $\Omega$. Alors il y a une solution de l’équation dans $\Omega$ qui est continue et égale à $\psi$ dans tous les points où la condition de Wiener est satisfaite. Cette condition est satisfaite dans tous les points de la frontière, à l’exception d’un ensemble de capacité nulle.