Global regularity for solutions of the minimal surface equation with continuous boundary values

Abstract

Suppose $\Omega$ is a bounded open subset of $R^n$ with $C^2$ boundary $\partial \Omega$ having nonnegative mean curvature. We examine the regularity at the boundary of solutions $u$ to the minimal surface equation having boundary values $\varphi$. If $\varphi$ has modulus of continuity $\beta$ we give a modulus of continuity for $u$ which depends on $\beta$ and the behaviour of the mean curvature of $\partial \Omega$. If $\varphi$ is Lipschitz continuous then we show that $u$ is Hölder continuous with some exponent α (explicitly obtained) that depends on the Lipschitz constant for $\varphi$. Finally we give examples showing the above results are best possible.

Résumé

Supposons que $\Omega$ soit un ouvert borné de $R^n$ dont le bord $\partial \Omega$ est de classe $C^2$ et a une courbure moyenne positive au mille. Nous examinons la régularité sur le bord de toute solution $u$ à l’équation des surfaces minimales avec $\varphi$ donné au bord. Si $\varphi$ a un module de continuité $\beta$, nous dérivons un module de continuité pour $u$ qui dépend de $\beta$ et du comportement de la courbure moyenne de $\partial \Omega$. Si $\varphi$ est lipschitzienne, nous démontrons que $u$ est höldérienne d’exposant α (obtenu explicitement), dépendant de la constante de Lipschitz pour $\varphi$. Finalement, nous donnons des exemples démontrant que les résultats obtenus sont rigoureux.